Syntax und Semantik - Versionsgeschichte

84.190.88.105 am 28. Juli 2007 um 16:17 Uhr

2007-07-28T16:17:54Z

84.190.88.105 am 28. Juli 2007 um 16:08 Uhr

2007-07-28T16:08:47Z

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Zeile 14:		Zeile 14:
	I) Sind <math> H_1, H_2\ </math> Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen:		I) Sind <math> H_1, H_2\ </math> Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen:
	<math>\neg H_1,\ (H_1 \wedge H_2),\ (H_1 \vee H_2),\ (H_1 \rightarrow H_2),\ (H_1 \leftrightarrow H_2)</math><br/>		<math>\neg H_1,\ (H_1 \wedge H_2),\ (H_1 \vee H_2),\ (H_1 \rightarrow H_2),\ (H_1 \leftrightarrow H_2)</math><br/>
	Die Menge <math>\ ~~ausd~~</math> der Ausdrücke ist die kleinste Menge von Wörtern, die alle Aussagenvariablen enthält und abgeschlossen ist bezüglich unter I) angegebenen Konstruktionen.		Die Menge <math> ausd\ </math> der Ausdrücke ist die kleinste Menge von Wörtern, die alle Aussagenvariablen enthält und abgeschlossen ist bezüglich unter I) angegebenen Konstruktionen.

	<b>Klammersparregeln bei Ausdrücken</b><br/>		<b>Klammersparregeln bei Ausdrücken</b><br/>

84.190.88.105 am 28. Juli 2007 um 16:06 Uhr

2007-07-28T16:06:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2007, 16:06 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	<b>Aussagenvariable</b>		<b>Aussagenvariable</b>
	wird induktiv definiert:<br>		wird induktiv definiert:<br/>
	A) <math>\ p</math> ist eine Aussagenvariable<br>		A) <math>\ p</math> ist eine Aussagenvariable<br/>
	I) Ist das Wort <math> w\ </math> eine Aussagenvariable, so auch <math>w^\frown *</math>		I) Ist das Wort <math> w\ </math> eine Aussagenvariable, so auch <math>w^\frown *</math><br/>
			Die Menge <math>\ AV </math> der Aussagenvariablen ist die kleinste Menge von Wörtern über <math> X\ </math>, die das Wort <math>\ p </math> enthält, und abgeschlossen ist bezüglich das Anhängen des Zeichens <math>\ * </math>. <br/> <math>\ AV = \{ p \underbrace {* ... *}_{i} \vert i \le 0 \} </math>

	<b>Ausdruck</b>		<b>Ausdruck</b>
	wird induktiv definiert:<br>		wird induktiv definiert:<br7>
	A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck<br>		A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck<br7>
	I) Sind <math> H_1, H_2\ </math> Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen:		I) Sind <math> H_1, H_2\ </math> Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen:
	<math>\neg H_1,\ (H_1 \wedge H_2),\ (H_1 \vee H_2),\ (H_1 \rightarrow H_2),\ (H_1 \leftrightarrow H_2)</math>		<math>\neg H_1,\ (H_1 \wedge H_2),\ (H_1 \vee H_2),\ (H_1 \rightarrow H_2),\ (H_1 \leftrightarrow H_2)</math><br/>
			Die Menge <math>\ ausd</math> der Ausdrücke ist die kleinste Menge von Wörtern, die alle Aussagenvariablen enthält und abgeschlossen ist bezüglich unter I) angegebenen Konstruktionen.

	<b>Klammersparregeln bei Ausdrücken</b><br>		<b>Klammersparregeln bei Ausdrücken</b><br/>
	1. Außenklammern weglassen.<br>		1. Außenklammern weglassen.<br>
	2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen<br>		2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen<br/>
	3. Vorrangregeln		3. Vorrangregeln
	* <math> \wedge </math> bindet stärker als <math> \vee </math>		* <math> \wedge </math> bindet stärker als <math> \vee </math>
Zeile 24:		Zeile 26:
	=Semantik=		=Semantik=

	<b>Belegung</b><br>		<b>Belegung</b><br/>
	Eine Abbildung <math> \beta : AV \rightarrow \{ W , F \} </math> der Menge <math> AV\ </math> der Aussagenvariablen in die Menge <math> \{ W , F \}\ </math> der Wahrheitswerte heißt <i>Belegung </i>.		Eine Abbildung <math> \beta : AV \rightarrow \{ W , F \} </math> der Menge <math> AV\ </math> der Aussagenvariablen in die Menge <math> \{ W , F \}\ </math> der Wahrheitswerte heißt <i>Belegung </i>.

SeannWilliamScott: /* Erfüllbarkeit, Gültigkeit */

2007-07-27T19:24:51Z

Erfüllbarkeit, Gültigkeit

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juli 2007, 19:24 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:
	2. <math> H\ </math>ist erfüllbar <math>(H \in ef,\ efH)</math>, wenn eine Belungung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> existiert, so daß <math>\beta erf H\ </math>.		2. <math> H\ </math>ist erfüllbar <math>(H \in ef,\ efH)</math>, wenn eine Belungung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> existiert, so daß <math>\beta erf H\ </math>.
	3. <math> H\ </math>ist (allgemein-)gültig <math>(H \in ag,\ agH)</math>, wenn jede Belegung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> den Ausdruck <math> H\ </math> erfüllt. (<math> H\ </math> ist eine Identität, bzw. Tautologie.)		3. <math> H\ </math>ist (allgemein-)gültig <math>(H \in ag,\ agH)</math>, wenn jede Belegung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> den Ausdruck <math> H\ </math> erfüllt. (<math> H\ </math> ist eine Identität, bzw. Tautologie.)
	4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ ktH)</math>, wenn es keine Belegung <math>\ \beta </math> gibt, die <math> H\ </math> erfüllt.		4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ ktH )</math>, wenn es keine Belegung <math>\ \beta </math> gibt, die <math> H\ </math> erfüllt.

	1. <math>ag \subset ef </math><br/>		1. <math>ag \subset ef </math><br/>

SeannWilliamScott: /* Erfüllbarkeit, Gültigkeit */

2007-07-27T14:34:46Z

Erfüllbarkeit, Gültigkeit

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juli 2007, 14:34 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:
	2. <math> H\ </math>ist erfüllbar <math>(H \in ef,\ efH)</math>, wenn eine Belungung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> existiert, so daß <math>\beta erf H\ </math>.		2. <math> H\ </math>ist erfüllbar <math>(H \in ef,\ efH)</math>, wenn eine Belungung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> existiert, so daß <math>\beta erf H\ </math>.
	3. <math> H\ </math>ist (allgemein-)gültig <math>(H \in ag,\ agH)</math>, wenn jede Belegung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> den Ausdruck <math> H\ </math> erfüllt. (<math> H\ </math> ist eine Identität, bzw. Tautologie.)		3. <math> H\ </math>ist (allgemein-)gültig <math>(H \in ag,\ agH)</math>, wenn jede Belegung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> den Ausdruck <math> H\ </math> erfüllt. (<math> H\ </math> ist eine Identität, bzw. Tautologie.)
	4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ ~~ktgH~~)</math>, wenn es keine Belegung <math>\ \beta </math> gibt, die <math> H\ </math> erfüllt.		4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ ktH)</math>, wenn es keine Belegung <math>\ \beta </math> gibt, die <math> H\ </math> erfüllt.

	1. <math>ag \subset ef </math><br/>		1. <math>ag \subset ef </math><br/>

SeannWilliamScott: /* Semantik */

2007-07-27T08:29:20Z

Semantik

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juli 2007, 08:29 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	A)<math>wert( p_i , \beta ) = \beta ( p_i )\ </math><br/>		A)<math>wert( p_i , \beta ) = \beta ( p_i )\ </math><br/>
	I)<math>wert( \neg H , \beta ) = non( wert( H , \beta ) )</math><br/>		I)<math>wert( \neg H , \beta ) = non( wert( H , \beta ) )</math><br/>
	<math>wert( H1 \wedge H_2 , \beta ) = et( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>		<math>wert( H_{1} \wedge H_2 , \beta ) = et( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>
	<math>wert( H_1 \vee H_2 , \beta ) = vel( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>		<math>wert( H_1 \vee H_2 , \beta ) = vel( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>
	<math>wert( H_1 \rightarrow H_2 , \beta ) = seq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>		<math>wert( H_1 \rightarrow H_2 , \beta ) = seq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>

SeannWilliamScott: /* Syntax */

2007-07-27T06:57:36Z

Syntax

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juli 2007, 06:57 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	<b>Aussagenvariable</b>		<b>Aussagenvariable</b>
	wird induktiv definiert:<br>		wird induktiv definiert:<br>
	A) p ist eine Aussagenvariable<br>		A) <math>\ p</math> ist eine Aussagenvariable<br>
	I) Ist das Wort w eine Aussagenvariable, so auch w<math>\frown</math>*		I) Ist das Wort <math> w\ </math> eine Aussagenvariable, so auch <math>w^\frown *</math>

	<b>Ausdruck</b>		<b>Ausdruck</b>

SeannWilliamScott: /* Syntax */

2007-07-27T06:50:16Z

Syntax

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juli 2007, 06:50 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	wird induktiv definiert:<br>		wird induktiv definiert:<br>
	A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck<br>		A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck<br>
	I) Sind <math> H1, H2\ </math>Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen:		I) Sind <math> H_1, H_2\ </math> Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen:
	<math>\neg H1,\ (H1\wedge H2),\ (H1\vee H2),\ (H1\rightarrow H2),\ (H1\leftrightarrow H2)</math>		<math>\neg H_1,\ (H_1 \wedge H_2),\ (H_1 \vee H_2),\ (H_1 \rightarrow H_2),\ (H_1 \leftrightarrow H_2)</math>

	<b>Klammersparregeln bei Ausdrücken</b><br>		<b>Klammersparregeln bei Ausdrücken</b><br>

SeannWilliamScott: /* Semantik */

2007-07-27T06:46:06Z

Semantik

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juli 2007, 06:46 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:

	<b>Wert eines Ausdrucks</b><br/>		<b>Wert eines Ausdrucks</b><br/>
	<math>wert( H , \beta )</math> wird induktiv über den Aufbau von Ausdrücken definiert:<br/>		<math>wert( H , \beta )\ </math>wird induktiv über den Aufbau von Ausdrücken definiert:<br/>
	A)<math>wert( p_i , \beta ) = \beta ( p_i )\ </math><br/>		A)<math>wert( p_i , \beta ) = \beta ( p_i )\ </math><br/>
	I)<math>wert( \neg H , \beta ) = non( wert( H , \beta ) )</math><br/>		I)<math>wert( \neg H , \beta ) = non( wert( H , \beta ) )</math><br/>
	<math>wert( ~~H_1~~ \wedge H_2 , \beta ) = et( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>		<math>wert( H1 \wedge H_2 , \beta ) = et( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>
	<math>wert( H_1 \vee H_2 , \beta ) = vel( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>		<math>wert( H_1 \vee H_2 , \beta ) = vel( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>
	<math>wert( H_1 \rightarrow H_2 , \beta ) = seq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>		<math>wert( H_1 \rightarrow H_2 , \beta ) = seq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>

SeannWilliamScott: /* Semantik */

2007-07-27T06:36:41Z

Semantik

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juli 2007, 06:36 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:

	=Semantik=		=Semantik=

			<b>Belegung</b><br>
			Eine Abbildung <math> \beta : AV \rightarrow \{ W , F \} </math> der Menge <math> AV\ </math> der Aussagenvariablen in die Menge <math> \{ W , F \}\ </math> der Wahrheitswerte heißt <i>Belegung </i>.

			<b>Wert eines Ausdrucks</b><br/>
			<math>wert( H , \beta )</math> wird induktiv über den Aufbau von Ausdrücken definiert:<br/>
			A)<math>wert( p_i , \beta ) = \beta ( p_i )\ </math><br/>
			I)<math>wert( \neg H , \beta ) = non( wert( H , \beta ) )</math><br/>
			<math>wert( H_1 \wedge H_2 , \beta ) = et( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>
			<math>wert( H_1 \vee H_2 , \beta ) = vel( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>
			<math>wert( H_1 \rightarrow H_2 , \beta ) = seq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>
			<math>wert( H_1 \leftrightarrow H_2 , \beta ) = aeq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/>

	===Erfüllbarkeit, Gültigkeit===		===Erfüllbarkeit, Gültigkeit===
Zeile 32:		Zeile 44:
	4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ ktgH)</math>, wenn es keine Belegung <math>\ \beta </math> gibt, die <math> H\ </math> erfüllt.		4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ ktgH)</math>, wenn es keine Belegung <math>\ \beta </math> gibt, die <math> H\ </math> erfüllt.

	1. <math>ag \subset ef </math><br>		1. <math>ag \subset ef </math><br/>
	2. <math>agH\ </math> gdw. nicht <math>ef\neg H ; efH</math> gdw. nicht <math>ag\neg H</math><br>		2. <math>agH\ </math> gdw. nicht <math>ef\neg H ; efH</math> gdw. nicht <math>ag\neg H</math><br/>
	3. Wenn <math>\ (\beta erf H)</math>, so nicht <math>(\beta erf\neg H)</math>.		3. Wenn <math>\ (\beta erf H)</math>, so nicht <math>(\beta erf\neg H)</math>.

	[[Kategorie:Aussagenlogik]]		[[Kategorie:Aussagenlogik]]

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2007, 16:17 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	A) <math>\ p</math> ist eine Aussagenvariable<br/>		A) <math>\ p</math> ist eine Aussagenvariable<br/>
	I) Ist das Wort <math> w\ </math> eine Aussagenvariable, so auch <math>w^\frown *</math><br/>		I) Ist das Wort <math> w\ </math> eine Aussagenvariable, so auch <math>w^\frown *</math><br/>
	Die Menge <math>\ AV </math> der Aussagenvariablen ist die kleinste Menge von Wörtern über <math> X\ </math>, die das Wort <math>\ p </math> enthält, und abgeschlossen ist bezüglich das Anhängen des Zeichens <math>\ * </math>. <br/> <math>\ AV = \{ p \underbrace {* ... *}_{i} \vert i \le 0 \} </math>		Die Menge <math>\ AV </math> der Aussagenvariablen ist die kleinste Menge von Wörtern über <math> X\ </math>, die das Wort <math>\ p </math> enthält, und abgeschlossen ist bezüglich das Anhängen des Zeichens <math>\ * </math>. <br/> <math> AV\ = \{ p \underbrace {* ... *}_{i} \vert i \le 0 \} </math>

	<b>Ausdruck</b>		<b>Ausdruck</b>
	wird induktiv definiert:<~~br7~~>		wird induktiv definiert:<br/>
	A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck<~~br7~~>		A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck<br/>
	I) Sind <math> H_1, H_2\ </math> Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen:		I) Sind <math> H_1, H_2\ </math> Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen:
	<math>\neg H_1,\ (H_1 \wedge H_2),\ (H_1 \vee H_2),\ (H_1 \rightarrow H_2),\ (H_1 \leftrightarrow H_2)</math><br/>		<math>\neg H_1,\ (H_1 \wedge H_2),\ (H_1 \vee H_2),\ (H_1 \rightarrow H_2),\ (H_1 \leftrightarrow H_2)</math><br/>
Zeile 17:		Zeile 17:

	<b>Klammersparregeln bei Ausdrücken</b><br/>		<b>Klammersparregeln bei Ausdrücken</b><br/>
	1. Außenklammern weglassen.<br>		1. Außenklammern weglassen.<br/>
	2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen<br/>		2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen<br/>
	3. Vorrangregeln		3. Vorrangregeln