Folgern: Unterschied zwischen den Versionen
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1. <math>\ fl( \emptyset ) = ag </math><br/> | 1. <math>\ fl( \emptyset ) = ag </math><br/> | ||
<b>Beweis</b><br/> | <b>Behauptung:</b> <math>\ fl( \emptyset ) = ag </math><br/> | ||
<b>Beweis:</b><br/> | |||
Eine Belegung <math>\ \beta </math> ist Modelle einer Menge <math> X\ </math>, wenn <math>\ \beta </math> jeden Ausdruck <math> H\ </math> in <math> X\ </math> erfüllt. | Eine Belegung <math>\ \beta </math> ist Modelle einer Menge <math> X\ </math>, wenn <math>\ \beta </math> jeden Ausdruck <math> H\ </math> in <math> X\ </math> erfüllt. | ||
Da in der leeren Menge keine Ausdrücke sind, macht jede Belegung jeden Ausdruck der leeren Menge wahr <math> ( \beta erfH )\ </math>. Daraus folgt, das jede Belegung <math>\ \beta </math> | Da in der leeren Menge keine Ausdrücke sind, macht jede Belegung jeden Ausdruck der leeren Menge wahr <math> ( \beta erfH )\ </math>. Daraus folgt, das jede Belegung <math>\ \beta </math> | ||
Modell der leeren Menge ist, was heißt, das die leere Menge nur Modelle hat, und sich alle Audrücke aus der leeren Mengen folgern lassen, die für jede Belegung wahr werden. | Modell der leeren Menge ist, was heißt, das die leere Menge nur Modelle hat, und sich alle Audrücke aus der leeren Mengen folgern lassen, die für jede Belegung wahr werden. | ||
Was der Definition der Menge <math> ag\ </math> der allgemeingültigen Ausdrücke entspricht, folglich gilt, unsere Behauptung: <math>\ fl( \emptyset ) = ag </math><br/><br/> | Was der Definition der Menge <math> ag\ </math> der allgemeingültigen Ausdrücke entspricht, folglich gilt, unsere Behauptung: <math>\ fl( \emptyset ) = ag </math><br/><br/> | ||
2. <math>fl(ag) \subseteq ag</math><br> | 2. <math>fl(ag) \subseteq ag</math><br> | ||
<b>Beweis:</b><br> | <b>Behauptung:</b><math>fl(ag) \subseteq ag</math><br> | ||
<b>Beweis:</b><br> | |||
<math>fl(ag)= fl(fl( \emptyset ))=fl(\emptyset )=ag</math> | <math>fl(ag)= fl(fl( \emptyset ))=fl(\emptyset )=ag</math><br/> | ||
<math> fl( fl( \emptyset ) ) = fl( \emptyset ) </math> ( Satz der Abgeschlossenheit )<br/> | |||
<math>\ fl( \emptyset ) = ag </math> ( wurde als Eigenschaft unter 1. bewiesen )<br/> | |||
<math> fl( ag ) = fl( fl( \emptyset ) )</math> Wegen <math>\ fl( \emptyset ) = ag </math> können wir in <math> fl( fl( \emptyset ) ) = fl( \emptyset ) </math> für <math>\ fl( \emptyset ) </math> auch <math>\ ag </math> schreiben. | |||
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Aktuelle Version vom 29. Juli 2007, 10:50 Uhr
Folgern im Aussagenkalkül
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es seiFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): X \subseteq ausd\
* Eine BelegungFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ \beta
heißt Modell vonFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): X \subseteq ausd\ ( \beta Mod X )
, wenn für alle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H \in X
gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \beta erf H \
.
* AusFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ X
folgtFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ H \ ( X fol H )
, wenn jedes ModellFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ \beta
vonFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): X\
den AusdruckFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
erfüllt.
* Der Folgerungsoperator Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ fl
ist wie folgt definiert: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): fl( X ) := \{ H \vert X fol H \}
Eigenschaften des Folgerungsoperators
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ fl( \emptyset ) = ag
Behauptung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ fl( \emptyset ) = ag
Beweis:
Eine Belegung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ \beta ist Modelle einer Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): X\ , wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ \beta jeden Ausdruck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\ in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): X\ erfüllt. Da in der leeren Menge keine Ausdrücke sind, macht jede Belegung jeden Ausdruck der leeren Menge wahr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): ( \beta erfH )\ . Daraus folgt, das jede Belegung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ \beta Modell der leeren Menge ist, was heißt, das die leere Menge nur Modelle hat, und sich alle Audrücke aus der leeren Mengen folgern lassen, die für jede Belegung wahr werden. Was der Definition der Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): ag\ der allgemeingültigen Ausdrücke entspricht, folglich gilt, unsere Behauptung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ fl( \emptyset ) = ag
2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): fl(ag) \subseteq ag
Behauptung:Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): fl(ag) \subseteq ag
Beweis:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): fl(ag)= fl(fl( \emptyset ))=fl(\emptyset )=ag
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): fl( fl( \emptyset ) ) = fl( \emptyset ) ( Satz der Abgeschlossenheit )
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ fl( \emptyset ) = ag ( wurde als Eigenschaft unter 1. bewiesen )
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): fl( ag ) = fl( fl( \emptyset ) ) Wegen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ fl( \emptyset ) = ag können wir in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): fl( fl( \emptyset ) ) = fl( \emptyset ) für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ fl( \emptyset ) auch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ ag schreiben.
