Syntax und Semantik

Syntax

Aussagenvariable
wird induktiv definiert:

A) $ \ p $ ist eine Aussagenvariable

I) Ist das Wort $ w\  $ eine Aussagenvariable, so auch $ w^{\frown }* $

Die Menge $ \ AV $ der Aussagenvariablen ist die kleinste Menge von Wörtern über $ X\  $, die das Wort $ \ p $ enthält, und abgeschlossen ist bezüglich das Anhängen des Zeichens $ \ * $. 
   $ AV\ =\{p\underbrace {*...*} _{i}\vert i\leq 0\} $

Ausdruck
wird induktiv definiert:

A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck

I) Sind $ H_{1},H_{2}\  $ Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen:
   $ \neg H_{1},\ (H_{1}\wedge H_{2}),\ (H_{1}\vee H_{2}),\ (H_{1}\rightarrow H_{2}),\ (H_{1}\leftrightarrow H_{2}) $

Die Menge $ ausd\  $ der Ausdrücke ist die kleinste Menge von Wörtern, die alle Aussagenvariablen enthält und abgeschlossen ist bezüglich unter I) angegebenen Konstruktionen.

Klammersparregeln bei Ausdrücken
1. Außenklammern weglassen.
2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen
3. Vorrangregeln

• $ \wedge $ bindet stärker als $ \vee $
• $ \vee $ bindet stärker als $ \rightarrow $
• $ \rightarrow $ bindet stärker als $ \leftrightarrow $

Semantik

Belegung

Eine Abbildung $ \beta :AV\rightarrow \{W,F\} $ der Menge $ AV\  $ der Aussagenvariablen in die Menge $ \{W,F\}\  $ der Wahrheitswerte heißt Belegung .

Wert eines Ausdrucks

$ wert(H,\beta )\  $wird induktiv über den Aufbau von Ausdrücken definiert:

A)$ wert(p_{i},\beta )=\beta (p_{i})\  $

I)$ wert(\neg H,\beta )=non(wert(H,\beta )) $

  $ wert(H_{1}\wedge H_{2},\beta )=et(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $

  $ wert(H_{1}\vee H_{2},\beta )=vel(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $

  $ wert(H_{1}\rightarrow H_{2},\beta )=seq(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $

  $ wert(H_{1}\leftrightarrow H_{2},\beta )=aeq(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $

Erfüllbarkeit, Gültigkeit

Sei $ \beta \in {\mathfrak {B}} $ und $ H\in ausd $.
1. $ \ \beta  $ erfüllt$ H\ (\beta erfH):\leftrightarrow wert(H,\beta )=W $
2. $ H\  $ist erfüllbar $ (H\in ef,\ efH) $, wenn eine Belungung $ \beta \in {\mathfrak {B}} $ existiert, so daß $ \beta erfH\  $.
3. $ H\  $ist (allgemein-)gültig $ (H\in ag,\ agH) $, wenn jede Belegung $ \beta \in {\mathfrak {B}} $ den Ausdruck $ H\  $ erfüllt. ($ H\  $ ist eine Identität, bzw. Tautologie.)
4. $ H\  $ist Kontradiktion $ (H\in kt,\ ktH) $, wenn es keine Belegung $ \ \beta  $ gibt, die $ H\  $ erfüllt.

1. $ ag\subset ef $
2. $ agH\ $ gdw. nicht $ ef\neg H;efH $ gdw. nicht $ ag\neg H $
3. Wenn $ \ (\beta erfH) $, so nicht $ (\beta erf\neg H) $.