Syntax und Semantik: Unterschied zwischen den Versionen
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<b>Aussagenvariable</b> | <b>Aussagenvariable</b> | ||
wird induktiv definiert:<br> | wird induktiv definiert:<br/> | ||
A) p ist eine Aussagenvariable<br> | A) <math>\ p</math> ist eine Aussagenvariable<br/> | ||
I) Ist das Wort w eine Aussagenvariable, so auch w<math>\ | I) Ist das Wort <math> w\ </math> eine Aussagenvariable, so auch <math>w^\frown *</math><br/> | ||
Die Menge <math>\ AV </math> der Aussagenvariablen ist die kleinste Menge von Wörtern über <math> X\ </math>, die das Wort <math>\ p </math> enthält, und abgeschlossen ist bezüglich das Anhängen des Zeichens <math>\ * </math>. <br/> <math> AV\ = \{ p \underbrace {* ... *}_{i} \vert i \le 0 \} </math> | |||
<b>Ausdruck</b> | <b>Ausdruck</b> | ||
wird induktiv definiert:<br> | wird induktiv definiert:<br/> | ||
A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck<br> | A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck<br/> | ||
I) Sind <math> | I) Sind <math> H_1, H_2\ </math> Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen: | ||
<math>\neg | <math>\neg H_1,\ (H_1 \wedge H_2),\ (H_1 \vee H_2),\ (H_1 \rightarrow H_2),\ (H_1 \leftrightarrow H_2)</math><br/> | ||
Die Menge <math> ausd\ </math> der Ausdrücke ist die kleinste Menge von Wörtern, die alle Aussagenvariablen enthält und abgeschlossen ist bezüglich unter I) angegebenen Konstruktionen. | |||
<b>Klammersparregeln bei Ausdrücken</b><br> | <b>Klammersparregeln bei Ausdrücken</b><br/> | ||
1. Außenklammern weglassen.<br> | 1. Außenklammern weglassen.<br/> | ||
2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen<br> | 2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen<br/> | ||
3. Vorrangregeln | 3. Vorrangregeln | ||
* <math> \wedge </math> bindet stärker als <math> \vee </math> | * <math> \wedge </math> bindet stärker als <math> \vee </math> | ||
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=Semantik= | =Semantik= | ||
<b>Belegung</b><br> | <b>Belegung</b><br/> | ||
Eine Abbildung <math> \beta : AV \rightarrow \{ W , F \} </math> der Menge <math> AV\ </math> der Aussagenvariablen in die Menge <math> \{ W , F \}\ </math> der Wahrheitswerte heißt <i>Belegung </i>. | Eine Abbildung <math> \beta : AV \rightarrow \{ W , F \} </math> der Menge <math> AV\ </math> der Aussagenvariablen in die Menge <math> \{ W , F \}\ </math> der Wahrheitswerte heißt <i>Belegung </i>. | ||
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A)<math>wert( p_i , \beta ) = \beta ( p_i )\ </math><br/> | A)<math>wert( p_i , \beta ) = \beta ( p_i )\ </math><br/> | ||
I)<math>wert( \neg H , \beta ) = non( wert( H , \beta ) )</math><br/> | I)<math>wert( \neg H , \beta ) = non( wert( H , \beta ) )</math><br/> | ||
<math>wert( | <math>wert( H_{1} \wedge H_2 , \beta ) = et( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/> | ||
<math>wert( H_1 \vee H_2 , \beta ) = vel( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/> | <math>wert( H_1 \vee H_2 , \beta ) = vel( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/> | ||
<math>wert( H_1 \rightarrow H_2 , \beta ) = seq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/> | <math>wert( H_1 \rightarrow H_2 , \beta ) = seq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/> | ||
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2. <math> H\ </math>ist erfüllbar <math>(H \in ef,\ efH)</math>, wenn eine Belungung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> existiert, so daß <math>\beta erf H\ </math>. | 2. <math> H\ </math>ist erfüllbar <math>(H \in ef,\ efH)</math>, wenn eine Belungung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> existiert, so daß <math>\beta erf H\ </math>. | ||
3. <math> H\ </math>ist (allgemein-)gültig <math>(H \in ag,\ agH)</math>, wenn jede Belegung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> den Ausdruck <math> H\ </math> erfüllt. (<math> H\ </math> ist eine Identität, bzw. Tautologie.) | 3. <math> H\ </math>ist (allgemein-)gültig <math>(H \in ag,\ agH)</math>, wenn jede Belegung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> den Ausdruck <math> H\ </math> erfüllt. (<math> H\ </math> ist eine Identität, bzw. Tautologie.) | ||
4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ | 4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ ktH )</math>, wenn es keine Belegung <math>\ \beta </math> gibt, die <math> H\ </math> erfüllt. | ||
1. <math>ag \subset ef </math><br/> | 1. <math>ag \subset ef </math><br/> | ||
Aktuelle Version vom 28. Juli 2007, 16:17 Uhr
Syntax und Semantik im Aussagenkalkül
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Syntax
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Aussagenvariable wird induktiv definiert:
A) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ p ist eine Aussagenvariable
I) Ist das Wort Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): w\ eine Aussagenvariable, so auch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): w^\frown *
Die Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ AV der Aussagenvariablen ist die kleinste Menge von Wörtern über Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): X\ , die das Wort Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ p enthält, und abgeschlossen ist bezüglich das Anhängen des Zeichens Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ * .
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): AV\ = \{ p \underbrace {* ... *}_{i} \vert i \le 0 \}
Ausdruck wird induktiv definiert:
A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck
I) Sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H_1, H_2\ Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \neg H_1,\ (H_1 \wedge H_2),\ (H_1 \vee H_2),\ (H_1 \rightarrow H_2),\ (H_1 \leftrightarrow H_2)
Die Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): ausd\ der Ausdrücke ist die kleinste Menge von Wörtern, die alle Aussagenvariablen enthält und abgeschlossen ist bezüglich unter I) angegebenen Konstruktionen.
Klammersparregeln bei Ausdrücken
1. Außenklammern weglassen.
2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen
3. Vorrangregeln
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \wedge bindet stärker als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \vee
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \vee bindet stärker als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \rightarrow
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \rightarrow bindet stärker als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \leftrightarrow
Semantik
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Belegung
Eine Abbildung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \beta : AV \rightarrow \{ W , F \} der Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): AV\ der Aussagenvariablen in die Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \{ W , F \}\ der Wahrheitswerte heißt Belegung .
Wert eines Ausdrucks
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( H , \beta )\ wird induktiv über den Aufbau von Ausdrücken definiert:
A)Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( p_i , \beta ) = \beta ( p_i )\
I)Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( \neg H , \beta ) = non( wert( H , \beta ) )
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( H_{1} \wedge H_2 , \beta ) = et( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( H_1 \vee H_2 , \beta ) = vel( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( H_1 \rightarrow H_2 , \beta ) = seq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( H_1 \leftrightarrow H_2 , \beta ) = aeq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )
Erfüllbarkeit, Gültigkeit
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \beta \in \mathfrak{B}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H \in ausd
.
1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ \beta
erfülltFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\ (\beta erf H) : \leftrightarrow wert(H,\beta)=W
2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
ist erfüllbar Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): (H \in ef,\ efH)
, wenn eine Belungung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \beta \in \mathfrak{B}
existiert, so daß Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \beta erf H\
.
3. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
ist (allgemein-)gültig Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): (H \in ag,\ agH)
, wenn jede Belegung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \beta \in \mathfrak{B}
den Ausdruck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
erfüllt. (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
ist eine Identität, bzw. Tautologie.)
4. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
ist Kontradiktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): (H \in kt,\ ktH )
, wenn es keine Belegung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ \beta
gibt, die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
erfüllt.
1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): ag \subset ef
2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): agH\
gdw. nicht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): ef\neg H ; efH
gdw. nicht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): ag\neg H
3. Wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ (\beta erf H)
, so nicht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): (\beta erf\neg H)
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