Syntax und Semantik: Unterschied zwischen den Versionen
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Eine Abbildung <math> \beta : AV \rightarrow \{ W , F \} </math> der Menge <math> AV\ </math> der Aussagenvariablen in die Menge <math> \{ W , F \}\ </math> der Wahrheitswerte heißt <i>Belegung </i>. | |||
<b>Wert eines Ausdrucks</b><br/> | |||
<math>wert( H , \beta )</math> wird induktiv über den Aufbau von Ausdrücken definiert:<br/> | |||
A)<math>wert( p_i , \beta ) = \beta ( p_i )\ </math><br/> | |||
I)<math>wert( \neg H , \beta ) = non( wert( H , \beta ) )</math><br/> | |||
<math>wert( H_1 \wedge H_2 , \beta ) = et( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/> | |||
<math>wert( H_1 \vee H_2 , \beta ) = vel( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/> | |||
<math>wert( H_1 \rightarrow H_2 , \beta ) = seq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/> | |||
<math>wert( H_1 \leftrightarrow H_2 , \beta ) = aeq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math><br/> | |||
===Erfüllbarkeit, Gültigkeit=== | ===Erfüllbarkeit, Gültigkeit=== | ||
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4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ ktgH)</math>, wenn es keine Belegung <math>\ \beta </math> gibt, die <math> H\ </math> erfüllt. | 4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ ktgH)</math>, wenn es keine Belegung <math>\ \beta </math> gibt, die <math> H\ </math> erfüllt. | ||
1. <math>ag \subset ef </math><br> | 1. <math>ag \subset ef </math><br/> | ||
2. <math>agH\ </math> gdw. nicht <math>ef\neg H ; efH</math> gdw. nicht <math>ag\neg H</math><br> | 2. <math>agH\ </math> gdw. nicht <math>ef\neg H ; efH</math> gdw. nicht <math>ag\neg H</math><br/> | ||
3. Wenn <math>\ (\beta erf H)</math>, so nicht <math>(\beta erf\neg H)</math>. | 3. Wenn <math>\ (\beta erf H)</math>, so nicht <math>(\beta erf\neg H)</math>. | ||
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Version vom 27. Juli 2007, 06:36 Uhr
Syntax und Semantik im Aussagenkalkül
Syntax
Aussagenvariable wird induktiv definiert:
A) p ist eine Aussagenvariable
I) Ist das Wort w eine Aussagenvariable, so auch wFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \frown *
Ausdruck wird induktiv definiert:
A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck
I) Sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H1, H2\ Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \neg H1,\ (H1\wedge H2),\ (H1\vee H2),\ (H1\rightarrow H2),\ (H1\leftrightarrow H2)
Klammersparregeln bei Ausdrücken
1. Außenklammern weglassen.
2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen
3. Vorrangregeln
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \wedge bindet stärker als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \vee
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \vee bindet stärker als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \rightarrow
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \rightarrow bindet stärker als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \leftrightarrow
Semantik
Belegung
Eine Abbildung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \beta : AV \rightarrow \{ W , F \} der Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): AV\ der Aussagenvariablen in die Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \{ W , F \}\ der Wahrheitswerte heißt Belegung .
Wert eines Ausdrucks
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( H , \beta ) wird induktiv über den Aufbau von Ausdrücken definiert:
A)Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( p_i , \beta ) = \beta ( p_i )\
I)Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( \neg H , \beta ) = non( wert( H , \beta ) )
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( H_1 \wedge H_2 , \beta ) = et( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( H_1 \vee H_2 , \beta ) = vel( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( H_1 \rightarrow H_2 , \beta ) = seq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): wert( H_1 \leftrightarrow H_2 , \beta ) = aeq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )
Erfüllbarkeit, Gültigkeit
Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \beta \in \mathfrak{B}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H \in ausd
.
1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ \beta
erfülltFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\ (\beta erf H) : \leftrightarrow wert(H,\beta)=W
2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
ist erfüllbar Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): (H \in ef,\ efH)
, wenn eine Belungung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \beta \in \mathfrak{B}
existiert, so daß Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \beta erf H\
.
3. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
ist (allgemein-)gültig Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): (H \in ag,\ agH)
, wenn jede Belegung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \beta \in \mathfrak{B}
den Ausdruck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
erfüllt. (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
ist eine Identität, bzw. Tautologie.)
4. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
ist Kontradiktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): (H \in kt,\ ktgH)
, wenn es keine Belegung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ \beta
gibt, die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): H\
erfüllt.
1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): ag \subset ef
2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): agH\
gdw. nicht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): ef\neg H ; efH
gdw. nicht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): ag\neg H
3. Wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): \ (\beta erf H)
, so nicht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://api.formulasearchengine.com/v1/“:): (\beta erf\neg H)
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