Syntax und Semantik: Unterschied zwischen den Versionen
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A)<math>wert( p_i , \beta ) = \beta ( p_i )\ </math><br/> | |||
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3. Wenn <math>\ (\beta erf H)</math>, so nicht <math>(\beta erf\neg H)</math>. | 3. Wenn <math>\ (\beta erf H)</math>, so nicht <math>(\beta erf\neg H)</math>. | ||
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Version vom 27. Juli 2007, 06:36 Uhr
Syntax und Semantik im Aussagenkalkül
Syntax
Aussagenvariable wird induktiv definiert:
A) p ist eine Aussagenvariable
I) Ist das Wort w eine Aussagenvariable, so auch w$ \frown $*
Ausdruck wird induktiv definiert:
A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck
I) Sind $ H1,H2\ $Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen: $ \neg H1,\ (H1\wedge H2),\ (H1\vee H2),\ (H1\rightarrow H2),\ (H1\leftrightarrow H2) $
Klammersparregeln bei Ausdrücken
1. Außenklammern weglassen.
2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen
3. Vorrangregeln
- $ \wedge $ bindet stärker als $ \vee $
- $ \vee $ bindet stärker als $ \rightarrow $
- $ \rightarrow $ bindet stärker als $ \leftrightarrow $
Semantik
Belegung
Eine Abbildung $ \beta :AV\rightarrow \{W,F\} $ der Menge $ AV\ $ der Aussagenvariablen in die Menge $ \{W,F\}\ $ der Wahrheitswerte heißt Belegung .
Wert eines Ausdrucks
$ wert(H,\beta ) $ wird induktiv über den Aufbau von Ausdrücken definiert:
A)$ wert(p_{i},\beta )=\beta (p_{i})\ $
I)$ wert(\neg H,\beta )=non(wert(H,\beta )) $
$ wert(H_{1}\wedge H_{2},\beta )=et(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $
$ wert(H_{1}\vee H_{2},\beta )=vel(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $
$ wert(H_{1}\rightarrow H_{2},\beta )=seq(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $
$ wert(H_{1}\leftrightarrow H_{2},\beta )=aeq(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $
Erfüllbarkeit, Gültigkeit
Sei $ \beta \in {\mathfrak {B}} $ und $ H\in ausd $. 1. $ \ \beta $ erfüllt$ H\ (\beta erfH):\leftrightarrow wert(H,\beta )=W $ 2. $ H\ $ist erfüllbar $ (H\in ef,\ efH) $, wenn eine Belungung $ \beta \in {\mathfrak {B}} $ existiert, so daß $ \beta erfH\ $. 3. $ H\ $ist (allgemein-)gültig $ (H\in ag,\ agH) $, wenn jede Belegung $ \beta \in {\mathfrak {B}} $ den Ausdruck $ H\ $ erfüllt. ($ H\ $ ist eine Identität, bzw. Tautologie.) 4. $ H\ $ist Kontradiktion $ (H\in kt,\ ktgH) $, wenn es keine Belegung $ \ \beta $ gibt, die $ H\ $ erfüllt.
1. $ ag\subset ef $
2. $ agH\ $ gdw. nicht $ ef\neg H;efH $ gdw. nicht $ ag\neg H $
3. Wenn $ \ (\beta erfH) $, so nicht $ (\beta erf\neg H) $.
