Syntax und Semantik: Unterschied zwischen den Versionen
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2. <math> H\ </math>ist erfüllbar <math>(H \in ef,\ efH)</math>, wenn eine Belungung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> existiert, so daß <math>\beta erf H\ </math>. | 2. <math> H\ </math>ist erfüllbar <math>(H \in ef,\ efH)</math>, wenn eine Belungung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> existiert, so daß <math>\beta erf H\ </math>. | ||
3. <math> H\ </math>ist (allgemein-)gültig <math>(H \in ag,\ agH)</math>, wenn jede Belegung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> den Ausdruck <math> H\ </math> erfüllt. (<math> H\ </math> ist eine Identität, bzw. Tautologie.) | 3. <math> H\ </math>ist (allgemein-)gültig <math>(H \in ag,\ agH)</math>, wenn jede Belegung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> den Ausdruck <math> H\ </math> erfüllt. (<math> H\ </math> ist eine Identität, bzw. Tautologie.) | ||
4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ | 4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ ktH)</math>, wenn es keine Belegung <math>\ \beta </math> gibt, die <math> H\ </math> erfüllt. | ||
1. <math>ag \subset ef </math><br/> | 1. <math>ag \subset ef </math><br/> | ||
Version vom 27. Juli 2007, 14:34 Uhr
Syntax und Semantik im Aussagenkalkül
Syntax
Aussagenvariable wird induktiv definiert:
A) $ \ p $ ist eine Aussagenvariable
I) Ist das Wort $ w\ $ eine Aussagenvariable, so auch $ w^{\frown }* $
Ausdruck wird induktiv definiert:
A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck
I) Sind $ H_{1},H_{2}\ $ Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen: $ \neg H_{1},\ (H_{1}\wedge H_{2}),\ (H_{1}\vee H_{2}),\ (H_{1}\rightarrow H_{2}),\ (H_{1}\leftrightarrow H_{2}) $
Klammersparregeln bei Ausdrücken
1. Außenklammern weglassen.
2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen
3. Vorrangregeln
- $ \wedge $ bindet stärker als $ \vee $
- $ \vee $ bindet stärker als $ \rightarrow $
- $ \rightarrow $ bindet stärker als $ \leftrightarrow $
Semantik
Belegung
Eine Abbildung $ \beta :AV\rightarrow \{W,F\} $ der Menge $ AV\ $ der Aussagenvariablen in die Menge $ \{W,F\}\ $ der Wahrheitswerte heißt Belegung .
Wert eines Ausdrucks
$ wert(H,\beta )\ $wird induktiv über den Aufbau von Ausdrücken definiert:
A)$ wert(p_{i},\beta )=\beta (p_{i})\ $
I)$ wert(\neg H,\beta )=non(wert(H,\beta )) $
$ wert(H_{1}\wedge H_{2},\beta )=et(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $
$ wert(H_{1}\vee H_{2},\beta )=vel(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $
$ wert(H_{1}\rightarrow H_{2},\beta )=seq(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $
$ wert(H_{1}\leftrightarrow H_{2},\beta )=aeq(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $
Erfüllbarkeit, Gültigkeit
Sei $ \beta \in {\mathfrak {B}} $ und $ H\in ausd $. 1. $ \ \beta $ erfüllt$ H\ (\beta erfH):\leftrightarrow wert(H,\beta )=W $ 2. $ H\ $ist erfüllbar $ (H\in ef,\ efH) $, wenn eine Belungung $ \beta \in {\mathfrak {B}} $ existiert, so daß $ \beta erfH\ $. 3. $ H\ $ist (allgemein-)gültig $ (H\in ag,\ agH) $, wenn jede Belegung $ \beta \in {\mathfrak {B}} $ den Ausdruck $ H\ $ erfüllt. ($ H\ $ ist eine Identität, bzw. Tautologie.) 4. $ H\ $ist Kontradiktion $ (H\in kt,\ ktH) $, wenn es keine Belegung $ \ \beta $ gibt, die $ H\ $ erfüllt.
1. $ ag\subset ef $
2. $ agH\ $ gdw. nicht $ ef\neg H;efH $ gdw. nicht $ ag\neg H $
3. Wenn $ \ (\beta erfH) $, so nicht $ (\beta erf\neg H) $.
