Syntax und Semantik

Syntax

Aussagenvariable
wird induktiv definiert:

A) p ist eine Aussagenvariable

I) Ist das Wort w eine Aussagenvariable, so auch w$ \frown  $*

Ausdruck
wird induktiv definiert:

A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck

I) Sind $ H1,H2\  $Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen:
   $ \neg H1,\ (H1\wedge H2),\ (H1\vee H2),\ (H1\rightarrow H2),\ (H1\leftrightarrow H2) $

Klammersparregeln bei Ausdrücken
1. Außenklammern weglassen.
2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen
3. Vorrangregeln

• $ \wedge $ bindet stärker als $ \vee $
• $ \vee $ bindet stärker als $ \rightarrow $
• $ \rightarrow $ bindet stärker als $ \leftrightarrow $

Semantik

Belegung

Eine Abbildung $ \beta :AV\rightarrow \{W,F\} $ der Menge $ AV\  $ der Aussagenvariablen in die Menge $ \{W,F\}\  $ der Wahrheitswerte heißt Belegung .

Wert eines Ausdrucks

$ wert(H,\beta )\  $wird induktiv über den Aufbau von Ausdrücken definiert:

A)$ wert(p_{i},\beta )=\beta (p_{i})\  $

I)$ wert(\neg H,\beta )=non(wert(H,\beta )) $

  $ wert(H1\wedge H_{2},\beta )=et(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $

  $ wert(H_{1}\vee H_{2},\beta )=vel(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $

  $ wert(H_{1}\rightarrow H_{2},\beta )=seq(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $

  $ wert(H_{1}\leftrightarrow H_{2},\beta )=aeq(wert(H_{1},\beta ),\ wert(H_{2},\beta )) $

Erfüllbarkeit, Gültigkeit

Sei $ \beta \in {\mathfrak {B}} $ und $ H\in ausd $.
1. $ \ \beta  $ erfüllt$ H\ (\beta erfH):\leftrightarrow wert(H,\beta )=W $
2. $ H\  $ist erfüllbar $ (H\in ef,\ efH) $, wenn eine Belungung $ \beta \in {\mathfrak {B}} $ existiert, so daß $ \beta erfH\  $.
3. $ H\  $ist (allgemein-)gültig $ (H\in ag,\ agH) $, wenn jede Belegung $ \beta \in {\mathfrak {B}} $ den Ausdruck $ H\  $ erfüllt. ($ H\  $ ist eine Identität, bzw. Tautologie.)
4. $ H\  $ist Kontradiktion $ (H\in kt,\ ktgH) $, wenn es keine Belegung $ \ \beta  $ gibt, die $ H\  $ erfüllt.

1. $ ag\subset ef $
2. $ agH\ $ gdw. nicht $ ef\neg H;efH $ gdw. nicht $ ag\neg H $
3. Wenn $ \ (\beta erfH) $, so nicht $ (\beta erf\neg H) $.