Folgern

Folgern im Aussagenkalkül

Es sei<math> X \subseteq ausd\ </math>
* Eine Belegung<math>\ \beta </math>heißt Modell von<math> X \subseteq ausd\ ( \beta Mod X )</math>, wenn für alle <math> H \in X </math> gilt: <math> \beta erf H \ </math>.
* Aus<math>\ X </math>folgt<math>\ H \ ( X fol H )</math>, wenn jedes Modell<math>\ \beta </math>von<math>X\ </math>den Ausdruck<math>H\ </math>erfüllt.
* Der Folgerungsoperator <math>\ fl </math> ist wie folgt definiert: <math>fl( X ) :=  \{ H \vert X fol H \} </math>

Eigenschaften des Folgerungsoperators

1. <math>\ fl( \emptyset ) = ag </math>

Behauptung: <math>\ fl( \emptyset ) = ag </math>

Beweis:

Eine Belegung <math>\ \beta </math> ist Modelle einer Menge <math> X\ </math>, wenn <math>\ \beta </math> jeden Ausdruck <math> H\ </math> in <math> X\ </math> erfüllt.
Da in der leeren Menge keine Ausdrücke sind, macht jede Belegung jeden Ausdruck der leeren Menge wahr <math> ( \beta erfH )\ </math>. Daraus folgt, das jede Belegung <math>\ \beta </math>
Modell der leeren Menge ist, was heißt, das die leere Menge nur Modelle hat, und sich alle Audrücke aus der leeren Mengen folgern lassen, die für jede Belegung wahr werden. 
Was der Definition der Menge <math> ag\ </math> der allgemeingültigen Ausdrücke entspricht, folglich gilt, unsere Behauptung: <math>\ fl( \emptyset ) = ag </math>

2. <math>fl(ag) \subseteq ag</math>

Behauptung:<math>fl(ag) \subseteq ag</math>

Beweis:

<math>fl(ag)= fl(fl( \emptyset ))=fl(\emptyset )=ag</math>

<math> fl( fl( \emptyset ) ) = fl( \emptyset ) </math>  ( Satz der Abgeschlossenheit )

<math>\ fl( \emptyset ) = ag </math>  ( wurde als Eigenschaft unter 1. bewiesen )

<math> fl( ag ) =  fl( fl( \emptyset ) )</math>  Wegen <math>\ fl( \emptyset ) = ag </math> können wir in <math> fl( fl( \emptyset ) ) = fl( \emptyset ) </math> für <math>\ fl( \emptyset ) </math> auch <math>\ ag </math> schreiben.