Syntax und Semantik

Syntax

Aussagenvariable
wird induktiv definiert:

A) <math>\ p</math> ist eine Aussagenvariable

I) Ist das Wort <math> w\ </math> eine Aussagenvariable, so auch <math>w^\frown *</math>

Ausdruck
wird induktiv definiert:

A) Jede Aussagenvariable ist ein Ausdruck

I) Sind <math> H_1, H_2\ </math> Ausdrücke, so auch folgende Zeichenreihen:
   <math>\neg H_1,\ (H_1 \wedge H_2),\ (H_1 \vee H_2),\ (H_1 \rightarrow H_2),\ (H_1 \leftrightarrow H_2)</math>

Klammersparregeln bei Ausdrücken
1. Außenklammern weglassen.
2. Klammern in mehrfachen Alternativen oder Konjunktionen weglassen
3. Vorrangregeln

• <math> \wedge </math> bindet stärker als <math> \vee </math>
• <math> \vee </math> bindet stärker als <math> \rightarrow </math>
• <math> \rightarrow </math> bindet stärker als <math> \leftrightarrow </math>

Semantik

Belegung

Eine Abbildung <math> \beta : AV \rightarrow \{ W , F \} </math> der Menge <math> AV\ </math> der Aussagenvariablen in die Menge <math> \{ W , F \}\ </math> der Wahrheitswerte heißt Belegung .

Wert eines Ausdrucks

<math>wert( H , \beta )\ </math>wird induktiv über den Aufbau von Ausdrücken definiert:

A)<math>wert( p_i , \beta ) = \beta ( p_i )\ </math>

I)<math>wert( \neg H , \beta ) = non( wert( H , \beta ) )</math>

  <math>wert( H_{1} \wedge H_2 , \beta ) = et( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math>

  <math>wert( H_1 \vee H_2 , \beta ) = vel( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math>

  <math>wert( H_1 \rightarrow H_2 , \beta ) = seq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math>

  <math>wert( H_1 \leftrightarrow H_2 , \beta ) = aeq( wert( H_1 , \beta ),\ wert( H_2 , \beta ) )</math>

Erfüllbarkeit, Gültigkeit

Sei <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> und <math>H \in ausd</math>.
1. <math>\ \beta </math> erfüllt<math>H\ (\beta erf H) : \leftrightarrow wert(H,\beta)=W</math>
2. <math> H\ </math>ist erfüllbar <math>(H \in ef,\ efH)</math>, wenn eine Belungung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> existiert, so daß <math>\beta erf H\ </math>.
3. <math> H\ </math>ist (allgemein-)gültig <math>(H \in ag,\ agH)</math>, wenn jede Belegung <math>\beta \in \mathfrak{B}</math> den Ausdruck <math> H\ </math> erfüllt. (<math> H\ </math> ist eine Identität, bzw. Tautologie.)
4. <math> H\ </math>ist Kontradiktion <math>(H \in kt,\ ktH )</math>, wenn es keine Belegung <math>\ \beta </math> gibt, die <math> H\ </math> erfüllt.

1. <math>ag \subset ef </math>
2. <math>agH\ </math> gdw. nicht <math>ef\neg H ; efH</math> gdw. nicht <math>ag\neg H</math>
3. Wenn <math>\ (\beta erf H)</math>, so nicht <math>(\beta erf\neg H)</math>.